Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}

.

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция

S^{3}

на

\mathbb {R} ^{3}

. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на

S^{2}

(справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции

S^{3}

(слева).

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы $S^{3}$ как единичной сферы в $\mathbb {C} ^{2}$ , а двумерной сферы $S^{2}$ как комплексной проективной прямой $\mathbb {C} P^{1}$ . Тогда отображение:

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы $S^{1}$ :

{\displaystyle \theta

,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}

.

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера $S^{2n+1}$ расслаивается со слоем-окружностью над $\mathbb {C} P^{n}$ . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}

(вещественная),

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}

(комплексная — собственно расслоение Хопфа),

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}

(кватернионная),

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}

(октавная).

Такие расслоения сферы $S^{n}$ , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях $n\in \{1,3,7,15\}$ . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в $\mathbb {R} ^{n}$ без делителей нуля может быть определено только при $n\in \{1,2,4,8\}$ .

См. также

Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]
Сфера Милнора

Примечания

Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени (рус.). — Москва «Мир», 1988. — С. 78. Архивированная копия (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 1 февраля 2012. Архивировано 3 октября 2015 года.
Д.Н. Клышко. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах (рус.) // Успехи физических наук : журнал. — Российская академия наук, 1993. — Т. 163, № 11. — С. 1.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени (рус.). — Москва «Мир», 1988. — С. 78. Архивированная копия (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 1 февраля 2012. Архивировано 3 октября 2015 года.

[2] Д.Н. Клышко. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах (рус.) // Успехи физических наук : журнал. — Российская академия наук, 1993. — Т. 163, № 11. — С. 1.