Минимальная поверхность

• Геликоид
• Катеноид
• Поверхность Шерка
• Поверхность Эннепера
• Поверхность Чена — Гакстаттера

• Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть.
• Вообще говоря минимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске, минимизирующем площадь при данном контуре.
  • Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком ${\displaystyle z=f(x,y)}$ гладкой функции, определённой на выпуклой области в ${\displaystyle (x,y)}$-плоскости, то она минимизирует площадь среди всех поверхностей с данной границей.[1]
• Формула монотонности

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде ${\displaystyle z=f(x,y)}$, Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади поверхности влечёт, что её средняя кривизна равна нулю. Поэтому за поверхностями с ${\displaystyle H=0}$ закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие ${\displaystyle H=0}$ представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей.

• Евгений Степанов Видео-лекции: минимальные поверхности  (рус.)