Поверхность Шерка
Поверхность Шерка (названа именем Генриха Шерка) является примером минимальной поверхности. Шерк описал две полные вложенные минимальные поверхности в 1834 году[1]. Его первая поверхность является дважды периодической поверхностью, а вторая является просто периодической. Они были третьим нетривиальным примером минимальных поверхностей (первыми двумя были катеноид и геликоид).[2]. Две поверхности сопряжены друг другу.
Поверхности Шерка возникают при изучении некоторых задач о минимальных поверхностях и изучении гармонических диффеоморфизмов гиперболического пространства.
Первая поверхность Шерка
Первая поверхность Шерка асимптотически стремится к двум бесконечным семействам параллельных плоскостей, ортогональных друг другу. Поверхности образуют близ z = 0 арки мостов в шахматном порядке. Поверхность содержит бесконечное число прямых вертикальных линий.
Построение простой поверхности Шерка
Рассмотрим следующую минимальную поверхность на квадрате на евклидовой плоскости: для натурального числа n найти минимальную поверхность как график некоторой функции
так что
- для
- для
То есть, un удовлетворяет уравнению минимальной поверхности
и
Что будет с поверхностью при стремлении n к бесконечности? Ответ дал Х. Шерк в 1834 году: предельная поверхность является графиком функции
То есть поверхность Шерка над квадратом равна
Более общие поверхности Шерка
Можно рассмотреть похожие задачи с минимальными поверхностями на других четырёхугольниках на евклидовой плоскости. Можно также рассмотреть ту же задачу на четырёхугольниках на гиперболической плоскости. В 2006 году Гарольд Розенберг и Паскаль Коллин использовали гиперболические поверхности Шерка для построения гармонического диффеоморфизма из комплексной плоскости в гиперболическую плоскость (единичный диск с гиперболической метрикой), опровергая тем самым гипотезу гипотеза Шёна — Яу.
Вторая поверхность Шерка
Вторая поверхность Шерка глобально выглядит как две ортогональные плоскости, пересечение которых состоит из последовательности туннелей в чередующихся направлениях. Их пересечения с горизонтальными плоскостями состоит из чередующихся гипербол.
Поверхность задаётся уравнением:
Поверхность имеет Параметризация Вейерштрасса — Эннепера , и может быть параметризована как[3]:
для и . Это даёт один период поверхности, который может быть распространён в z-направлении симметрией.
Поверхность обобщил Х. Кархер в семейство сёдл пилона периодических минимальных поверхностей.
В литературе по ошибке эту поверхность называют пятой поверхностью Шерка[4][5]. Для уменьшения путаницы полезно упоминать поверхность как поверхность Шерка одного периода или как башню Шерка.
Примечания
Литература
- Scherk H.F. Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1835. — Т. 13.
- Nikolaos Kapuoleas. Constructions of minimal surfaces by glueing minimal immersions // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, June 25-July 27. — 2001.
- David Hoffman, William H. Meeks. Limits of minimal surfaces and Scherk's Fifth Surface // Archive for rational mechanics and analysis. — 1990. — Т. 111.
- Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2nd ed.. — CRC press, 2002.
Ссылки
- Sabitov, I.Kh. (2001), Scherk_surface, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Scherk's first surface in MSRI Geometry
- Scherk's second surface in MSRI Geometry
- Scherk's minimal surfaces in Mathworld