Пространство Лобачевского

Гиперболоидная модель реализует пространство Лобачевского как гиперболоид в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1,...,n\}}$. Гиперболоид является геометрическим местом ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.}$

В этой модели прямая (то есть, по сути, геодезическая) — это кривая, образованная пересечением ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ с плоскостью, проходящей через начало координат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

Гиперболоидная модель тесно связана с геометрией пространства Минковского. Квадратичная форма

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},}$

которая определяет гиперболоид, позволяет задать соответствующую билинейную форму

${\displaystyle B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}.}$

Пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, снабжённое билинейной формой B, является (n+1)-мерным пространством Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$.

Можно задать «расстояние» на гиперболоидной модели, определив[1] расстояние между двумя точками x и y на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ как

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arch} B(x,y).}$

Эта функция является метрикой, так как для неё выполнены аксиомы метрического пространства. Она сохраняется под действием ортохронной группы Лоренца O⁺(n,1) на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$. Следовательно, ортохронная группа Лоренца действует на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ как группа автоморфизмов, сохраняющих расстояние, то есть движений.

Альтернативной моделью геометрии Лобачевского является определённая область в проективном пространстве. Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество ${\displaystyle U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}}$, заданное как множество точек, для которых ${\displaystyle Q(x)>0}$ в однородных координатах x. Область Uⁿ является моделью Клейна пространства Лобачевского.

Прямыми в этой модели являются открытые отрезки объемлющего проективного пространства, которые лежат в Uⁿ. Расстояние между двумя точками x и y в Uⁿ определяется как

${\displaystyle d(x,y)=\operatorname {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}\right).}$

Это расстояние вполне определено на проективном пространстве, поскольку число ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)}}}}$ не меняется при изменении всех координат на один и тот же множитель (с точностью до которого и определены однородные координаты).

Эта модель связана с гиперболоидной моделью следующим образом. Каждая точка ${\displaystyle x\in U^{n}}$ соответствует прямой L_x через начало координат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ по определению проективного пространства. Эта прямая пересекает гиперболоид ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ в единственной точке. Обратно: через любую точку на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ проходит единственная прямая, проходящая через начало координат (что есть точка в проективном пространстве). Это соответствие определяет биекцию между Uⁿ и ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Это изометрия, поскольку вычисление d(x,y) вдоль ${\displaystyle Q(x)=Q(y)=1}$ воспроизводит определение расстояния в гиперболоидной модели.

Имеются две тесно связанные модели геометрии Лобачевского в евклидовой: модель Пуанкаре в шаре и модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.

Модель шара возникает из стереографической проекции гиперболоида в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ в гиперплоскость ${\displaystyle \{x_{0}=0\}}$. Подробнее: пусть S будет точкой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$ с координатами (−1,0,0,...,0) — южным полюсом для стереографической проекции. Для каждой точки P на гиперболоиде ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ пусть P^∗ будет единственной точкой пересечений прямой SP с плоскостью ${\displaystyle \{x_{0}=0\}}$.

Это устанавливает биективное отображение ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ в единичный шар

${\displaystyle B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\}}$

в плоскости {x₀ = 0}.

Геодезические в этой модели являются полуокружностями, перпендикулярными границе сферы Bⁿ. Изометрии шара образуются сферическими инверсиями относительно гиперсфер, перпендикулярных границе.

Модель верхней полуплоскости получается из модели Пуанкаре в шаре при применении инверсии с центром на границе модели Пуанкаре Bⁿ (см. выше) и радиусом, равным удвоенному радиусу модели.

Это преобразование отображает окружности в окружности и прямые (в последнем случае – если окружность проходит через центр инверсии) — и, более того, это конформное отображение. Следовательно, в модели верхней полуплоскости геодезическими являются прямые и (полу)окружности, перпендикулярные границе гиперплоскости.

Двумерные гиперболические поверхности можно также понимать как римановы поверхности. Согласно теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической, или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу ${\displaystyle \pi _{1}=\Gamma }$. Группы, которые возникают таким образом, называются фуксовыми. Факторпространство ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}/\Gamma }$ верхней полуплоскости по фундаментальной группе называется фуксовой моделью гиперболической поверхности. Верхняя полуплоскость Пуанкаре также гиперболична, но односвязна и не компактна. Поэтому она является универсальным накрытием других гиперболических поверхностей.

Аналогичным построением для трёхмерных гиперболических поверхностей является модель Клейна.