Конформно-евклидова модель

Конформно-евклидова модель или модель Пуанкаре́ — модель пространства Лобачевского.

Замощение плоскости Лобачевского правильными треугольниками.

Существуют разновидности модели — в круге (стереографическая проекция) и на полуплоскости для планиметрии Лобачевского, а также в шаре и в полупространстве — для стереометрии Лобачевского, соответственно.

Конформно-евклидова модель примечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами, то есть эта модель конформна[1] в отличие от проективной модели, в которой определение углов производится гораздо сложнее.

История

Эта модель была предложена Эудженио Бельтрами, наряду с проективной моделью и моделью псевдосферы.[2] Метрика в конформно-евклидовой модели также в знаменитой лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», но связь с геометрией Лобачевского обнаружена именно Бельтрами. Впоследствии Анри Пуанкаре обнаружил связи этой модели с задачами теории функций комплексного переменного, что дало одно из первых серьёзных приложений геометрии Лобачевского.

Модели в круге и в шаре
Конформно-евклидова модель в круге.

За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей , перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

Метрикой плоскости Лобачевского в Конформно-евклидовой модели в единичном круге является:

где и  — оси абсцисс и ординат, соответственно[3].

Аналогично, для конформно-евклидовой модели в шаре роль абсолюта выполняет граничная сфера в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является внутренность шара.

Расстояния

В комплексных координатах на единичном круге расстояния можно вычислить с помощью следующей формулы:

Расстояние можно выразить через двойное отношение. Если на дуге , точки расположены в следующем порядке: , , , то расстояние между точками и , в геометрии Лобачевского равняется

.

Модели на полуплоскости и в полупространстве

В модели полуплоскости Пуанкаре за плоскость Лобачевского принимается верхняя полуплоскость. Прямая, ограничивающая полуплоскость (то есть ось абсцисс), называется «абсолютом». Роль прямых выполняют содержащиеся в этой полуплоскости полуокружности с центрами на абсолюте и начинающиеся на абсолюте перпендикулярные ему лучи (то есть вертикальные лучи). Роль движений — преобразования, получаемые композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту.

Метрика плоскости Лобачевского в конформно-евклидовой модели в верхней полуплоскости имеет вид: [3], где и  — прямоугольные координаты, соответственно параллельно и перпендикулярно абсолюту.

Соответственно, в конформно-евклидовой модели в полупространстве роль абсолюта выполняет плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве, а пространством Лобачевского является лежащее на этой плоскости полупространство.

См. также

Примечания
  1. Попов А. Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики
  2. Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
    перевод: Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. // Об основаниях геометрии : Сборник. — М.: ГИТТЛ, 1956. — С. 342—365.
  3. Буяло С. В. Курс лекций «Асимптотическая геометрия метрических пространств» весна 2004.

Литература
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.