Двойное отношение
Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел , , , (вещественных или комплексных) определяется как
Также встречаются обозначения и .
Свойства
- Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.
-
- В частности если двойное отношение четвёрки чисел равно , тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
- В частности если двойное отношение четвёрки чисел равно , тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:
Вариации и обобщения
Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек , , , , лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число
где через , , , обозначены координаты точек , , , соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:
подразумевая, что через (соответственно ) обозначено отношение направленных отрезков.
- Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.
Двойным отношением четвёрки прямых , , , , проходящих через одну точку, называют число
знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми и , не пересекается ни с одной из прямых или (в этом случае говорят, что пара прямых и не разделяет пару прямых и ), то ; в противном случае .
- Пусть четвёрка прямых , , , проходит через точку , а прямая не содержит . Предположим прямые , , , пересекаются с соответственно в точках , , и . Тогда
Ссылки
- Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
- Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.