Фуксова группа

Пусть ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C}$ :\mathrm {Im} (z)>0} будет верхней полуплоскостью. Тогда ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является моделью гиперболической плоскости, которая снабжена метрикой

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

Группа PSL(2,R) действует на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ дробно-линейным преобразованием (которое известно как преобразования Мёбиуса):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Это действие эффективно и фактически ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию движений of ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Фуксова группа ${\displaystyle \Gamma }$ может быть определена как подгруппа группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$, которая действуют разрывно на ${\displaystyle \mathbb {H} }$. То есть

• Для любого z в ${\displaystyle \mathbb {H} }$ орбиты ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \}}$ не имеют предельных точек в ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

Эквивалентное определение — группа ${\displaystyle \Gamma }$ фуксова, когда ${\displaystyle \Gamma }$ дискретна. Это означает, что:

• Любая последовательность ${\displaystyle \{\gamma _{n}\}}$ элементов ${\displaystyle \Gamma }$, сходящаяся к тождественному элементу в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном счёте константна, то есть существует целое число N, такое что для любого n > N ${\displaystyle \gamma _{n}=E}$, где E является единичной матрицей.

Хотя разрывность и дискретность эквивалентны в данном случае, это неверно для случая произвольных групп конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в противоположность ${\displaystyle \mathbb {H} }$). Более того, фуксова группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ дискретна, но имеет предельные точки на вещественной прямой Im z = 0 — элементы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ будут иметь z = 0 для любого рационального числа, а рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ плотны в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Дробно-линейное преобразование, определённое матрицей из${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$, сохраняет сферу Римана ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty }$, но посылает верхнюю полуплоскость ${\displaystyle \mathbb {H} }$ в некоторый открытый диск ${\displaystyle \Delta }$. Преобразование, сопряжённое такому преобразованию, посылает дискретную подгруппу ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ в дискретную подгруппу группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$, сохраняя ${\displaystyle \Delta }$.

Это обуславливает следующее определение фуксовой группы. Пусть ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ действует инвариантно на собственный открытый диск ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty }$, то есть, ${\displaystyle \Gamma (\Delta )=\Delta }$. Тогда ${\displaystyle \Gamma }$ является фуксовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных свойств:

1. ${\displaystyle \Gamma }$ является дискретной группой (с учётом стандартной топологии на ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$).
2. ${\displaystyle \Gamma }$ действует собственно разрывно в каждой точке ${\displaystyle z\in \Delta }$.
3. множество ${\displaystyle \Delta }$ является подмножеством области разрывности ${\displaystyle \Omega (\Gamma )}$ of ${\displaystyle \Gamma }$.

То есть любое из этих трёх свойств может быть использовано как определение фуксовой группы, другие следуют из выбранного определения как теоремы. Понятие собственного инвариантного разрывного подмножества ${\displaystyle \Delta }$ важно. Так называемая группа Пикара ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])}$ дискретна, но не сохраняет какой-либо диск в сфере Римана. Более того, даже модулярная группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$, которая является фуксовой группой, не действует разрывно на вещественной прямой. Она имеет предельные точки в рациональных числах. Аналогично, идея, что ${\displaystyle \Delta }$ является собственным подмножеством области разрывности важна. Если этого нет, подгруппа называется клейновой группой.

Обычно в качестве инвариантной области ${\displaystyle \Delta }$ берётся либо открытый единичный диск, либо верхняя полуплоскость.

Ввиду дискретности действия орбита ${\displaystyle {\Gamma }z}$ точки z в верхней полуплоскости под действием ${\displaystyle \Gamma }$ не имеет точек сгущения в верхней полуплоскости. Могут существовать, однако, предельные точки на вещественной оси. Пусть ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ будет предельным множеством группы ${\displaystyle \Gamma }$, то есть, множество предельных точек ${\displaystyle {\Gamma }z}$ для ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$. Тогда ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty }$. Предельное множество может быть пустым или состоять из одной или двух точек, а может состоять и из бесконечного числа. В последнем случае есть два варианта:

Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельное множество является замкнутой вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \infty }$. Это случается, когда факторпространство ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ имеет конечный объём, но имеются фуксовы группы первого рода с бесконечным кообъёмом.

В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип. Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством, то есть нигде не плотным множеством на ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \infty }$. Поскольку это нигде не плотное множество, из этого следует, что любая предельная точка произвольно близка к некоторому открытому множеству, не принадлежащему предельному множеству. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора.

Тип фуксовой группы не обязательно должен быть тем же самым, если рассматривать её как клейнову группу — фактически, все фуксовы группы являются клейновыми группами второго типа, так как их предельные множества (как клейновые группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащихся в некотором круге.

Пример фуксовой группы — это модулярная группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$. Она является подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,R)}$, состоящей из дробно-линейных преобразований

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

где a, b, c, d — целые числа. Факторпространство ${\displaystyle \mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ является пространством модулей эллиптических кривых.

Фуксовы группы включают также группы ${\displaystyle \Gamma (n)}$ для каждого n > 0. Здесь ${\displaystyle \Gamma (n)}$ состоит из дробно-линейных преобразований вышеприведённого вида, где элементы матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

сравнимы с элементами единичной матрицы по подулю n.

Кокомпактным примером служит (обычная) Группа треугольника (2,3,7) (по вращениям), содержащая все фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита, как и другие группы Гурвица. Более обще, любая гиперболическая группа фон Дика (подгруппа группы треугольника с индексом 2, соответствующая сохраняющим ориентацию движениям) является фуксовой группой.

Все они являются фуксовыми группами первого рода.

• Все гиперболические и параболические циклические подгруппы группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ фуксовы.
• Любая эллиптческая циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
• Любая абелева фуксова группа циклична.
• Никакая фуксова группа не изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.
• Пусть ${\displaystyle \Gamma }$ будет неабелевой фуксовой группой. Тогда нормализатор группы ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ фуксовы.

Если h является гиперболическим элементом, длина переноса L действия группы в верхней полуплоскости связана со следом h как ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицы отношением

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

Аналогичное свойство имеет место для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.

• Квазифуксова группа
• Неевклидова кристаллографическая группа
• Группа Шоттки