Пространство модулей

Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство (например, схема, комплексное или алгебраическое пространство), точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов , факторизованному по некоторому отношению эквивалентности . Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов (например, гладких алгебраических кривых рода , рассматриваемых с точностью до изоморфизма), может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.

История

Теория модулей возникла при изучении эллиптических функций: существует семейство различных полей эллиптических функций (или их моделей — неизоморфных эллиптических кривых над ), параметризованное комплексными числами. Бернхард Риман, которому принадлежит и сам термин «модули», показал, что компактные римановы поверхности рода зависят от комплексных параметров — модулей.

Определения

Пусть  — некоторая схема (комплексное или алгебраическое пространство). Семейство объектов, параметризованное схемой (или, как часто говорят, над или с базой ) — это набор объектов , снабжённый дополнительной структурой, согласованной со структурой базы . Эта структура в каждом конкретном случае задаётся явно. Функтор модулей (или функтор семейств) — это контравариантный функтор из категории схем (или пространств) в категорию множеств, определяемый следующим образом:  — множество классов изоморфных семейств над , а морфизму сопоставляется отображение посредством взятия индуцированного семейства.

Если функтор модулей представим с помощью схемы (или пространства) , то называется тонким пространством модулей для функтора . В этом случае существует универсальное семейство с базой , то есть произвольное семейство с базой индуцируется семейством при помощи единственного отображения .

Функтор модулей представим в очень немногих случаях, в связи с чем было введено также понятие грубого пространства модулей. Схема называется грубым пространством модулей для функтора . если существует естественное преобразование , такое, что

  1. если  — алгебраически замкнутое поле, то отображение биективно;
  2. для произвольной схемы и естественного преобразования существует единственный морфизм , такой, что для ассоциированного естественного преобразования выполняется .

Интуитивно, замкнутые точки грубой схемы модулей соответствуют элементам , а геометрия этой схемы отражает то, каким образом объекты класса могут варьироваться в семействах. С другой стороны, над грубой схемой модулей может уже не существовать универсального семейства.

Примеры

Кривые

Пусть (соответственно, ) — множество классов изоморфных проективных гладких связных кривых (соответственно, стабильных кривых) рода над алгебраически замкнутым полем . Семейство над  — это гладкий (плоский) собственный морфизм , слоями которого являются гладкие (стабильные) кривые рода . Тогда существует грубая схема модулей (соответственно, ), являющаяся квазипроективным (проективным) неприводимым и нормальным многообразием над .[1]

Векторные расслоения

Пусть  — множество классов изоморфных векторных расслоений ранга на алгебраическом многообразии . Семейство над  — это векторное расслоение на . В случае, когда  — это неособая проективная кривая над алгебраически замкнутым полем, существует нормальное проективное многообразие , являющееся грубым пространством модулей полустабильных векторных расслоений ранга и степени на . Стабильные векторные расслоения параметризуются открытым гладким подмногообразием . Если и взаимно просты, совпадает с и является тонким пространством модулей[2].

Примечания

  1. Deligne, Pierre; Mumford, David. The irreducibility of the space of curves of given genus // Publications Mathématiques de l'IHÉS. — Paris, 1969. — Vol. 36. — P. 75-109.
  2. P. E. Newstead. Introduction to moduli problems and orbit spaces. — Springer-Verlag, 1978.

Литература

  • Модулей теория — статья из Математической энциклопедии. В. А. Исковских
  • Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — Москва: Мир, 2004.
  • К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — Москва: Мир, 1984.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.