Фуксова модель

По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической, либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность ${\displaystyle R}$, которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости ${\displaystyle \mathbb {H} }$ по подгруппе ${\displaystyle \Gamma }$, действующей вполне разрывно и свободно.

В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа биголоморфных преобразований является группой ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$, действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$, такая, что риманова поверхность ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ изоморфна ${\displaystyle R}$. Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм ${\displaystyle R\cong \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ называется фуксовой моделью для ${\displaystyle R}$.

Пусть ${\displaystyle R}$ будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть ${\displaystyle \Gamma }$ будет фуксовой группой, такой, что ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ является фуксовой моделью для ${\displaystyle R}$. Пусть

${\displaystyle A(\Gamma )=\{\rho \colon \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )\}}$.

Здесь ${\displaystyle A(\Gamma )}$ — множество всех ${\displaystyle \rho }$ эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)[1]. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа ${\displaystyle \Gamma }$ является конечнопорождённой, так как она изоморфна фундаментальной группе ${\displaystyle R}$. Пусть ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{r}}$ будет порождающим множеством, тогда любое ${\displaystyle \rho \in A(\Gamma )}$ определяется элементами ${\displaystyle \rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r})}$ и мы можем отождествить ${\displaystyle A(G)}$ с подмножеством ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{r}}$ отображением ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{r}))}$. Тем самым мы задаём топологию подпространства.

Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее[2]:

Для любого представления ${\displaystyle \rho \in A(G)}$ существует автогомеоморфизм (фактически, квазиконформное отображение) ${\displaystyle h}$ верхней полуплоскости ${\displaystyle \mathbb {H} }$, такое, что ${\displaystyle h\circ \gamma \circ h^{-1}=\rho (\gamma )}$ для любого ${\displaystyle \gamma \in G}$.

Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм ${\displaystyle R\to \rho (\Gamma )\backslash \mathbb {H} }$ и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку ${\displaystyle R}$ компактно.

Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера ${\displaystyle R}$[1] — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы ${\displaystyle \pi _{1}(R)}$[3] в классы смежности ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ и множества помеченных римановых поверхностей ${\displaystyle (X,f)}$, где ${\displaystyle f\colon R\to X}$ является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.

• Модель Кляйна, аналогичное построение для 3D-многообразий
• Фундаментальный многоугольник