Линейно связное пространство

• Рассмотрим отрезок числовой прямой ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ Тогда последнее называется линейно связным[1], если для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in X}$ найдётся непрерывное отображение ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ такое, что

  ${\displaystyle f(0)=x,\;f(1)=y.}$

• Пусть дано подмножество ${\displaystyle M\subset X}$. Тогда на нём естественным образом определяется топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{M}}$, индуцированная ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Если пространство ${\displaystyle \left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)}$ линейно связно, то подмножество ${\displaystyle M}$ также называется линейно связным в ${\displaystyle X}$[2].

• Каждое линейно связное подмножество пространства ${\displaystyle X}$ содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства ${\displaystyle X}$[2].
  • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
• Если существует база топологии пространства ${\displaystyle X}$, состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства ${\displaystyle X}$ и само пространство ${\displaystyle X}$ (в этой топологии) называются локально линейно связными[3].

Замыкание графика функции ${\displaystyle \sin(1/x)}$ — пример связного, но не линейно связного множества.

• Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств[4].
• Замыкание графика функции ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}}}$ при ${\displaystyle x\geq 0}$ — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$ на оси ординат[5].
• Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

• Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверно[1].
• Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
• Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связен[5].
• Если пространство ${\displaystyle X}$ линейно связно и ${\displaystyle x,\;y\in X}$, то гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;y)}$ изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма ${\displaystyle \pi _{1}(X,\;x)}$[6].

Будем считать, что ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — стандартная топология числовой прямой. Тогда[5]

• Подмножество ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ линейно связно тогда и только тогда, когда

  ${\displaystyle \forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},}$

то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.

• Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:

  ${\displaystyle (a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\;b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).}$

• Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Многомерным обобщением линейной связности является ${\displaystyle k}$-связность (связность в размерности ${\displaystyle k}$). Пространство ${\displaystyle X}$ называется связным в размерности ${\displaystyle k}$, если любые два отображения ${\displaystyle r}$-мерной сферы ${\displaystyle S^{r}}$ в ${\displaystyle X}$, где ${\displaystyle r\leqslant k}$, гомотопны. В частности, ${\displaystyle 0}$-связность — это то же, что линейная связность, а ${\displaystyle 1}$-связность — то же, что односвязность[7].

• Фоменко, А. Т., Фукс, Д. Б. Курс гомотопической топологии (рус.). — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7.
• Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.