Линейно связное пространство

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Линейно связное подмножество евклидовой плоскости

Определения

Связанные определения

  • Каждое линейно связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства [2].
    • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
  • Если существует база топологии пространства , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально линейно связными[3].

Примеры

Замыкание графика функции — пример связного, но не линейно связного множества.
  • Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств[4].
  • Замыкание графика функции  при — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок на оси ординат[5].
  • Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства

Линейная связность на числовой прямой

Будем считать, что , а  — стандартная топология числовой прямой. Тогда[5]

  • Подмножество линейно связно тогда и только тогда, когда
то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
  • Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
  • Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

Многомерным обобщением линейной связности является -связность (связность в размерности ). Пространство называется связным в размерности , если любые два отображения -мерной сферы в , где , гомотопны. В частности, -связность — это то же, что линейная связность, а -связность — то же, что односвязность[7].

Примечания

Литература

  • Фоменко, А. Т., Фукс, Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7.
  • Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М. Элементарная топология. — 2-е изд., исправл.. М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.