Индуцированная топология

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$, где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология. Пусть также ${\displaystyle Y\subset X}$. Определим ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ — семейство подмножеств ${\displaystyle Y}$ следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.}$

Несложно проверить, что ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ является топологией на ${\displaystyle Y}$. Эта топология называется индуцированной топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Топологическое пространство ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ называется подпростра́нством ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$.

Эту конструкцию можно обобщить. Пусть ${\displaystyle X}$ – произвольное множество, ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ – топологическое пространство и ${\displaystyle f:X\to Y}$ – произвольное отображение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Тогда в качестве ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ возьмем всевозможные множества вида ${\displaystyle f^{-1}}$(${\displaystyle V}$), где ${\displaystyle V}$ – открытые множества в ${\displaystyle Y}$. Топология ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ называется индуцированной отображением ${\displaystyle f}$ топологией. Она хороша тем, что отображение ${\displaystyle f}$ в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства ${\displaystyle X}$, для которых отображение ${\displaystyle f}$ будет непрерывным.

Пусть дана вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией. Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$, является дискретной.