Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество топологического пространства , внутренность замыкания которого пуста (), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства .

Эквивалентно, множество является нигде не плотным в тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве можно найти непустое открытое множество , не пересекающееся с (то есть ).

Свойства

  • Семейство всех нигде не плотных множеств пространства образуют идеал подмножеств , то есть:
    если , то ,
    если и , то ,
    .
  • Если и является нигде не плотным в ( где топология в индуцированна от ), тогда .
  • Пусть и  — плотное подмножество в . Тогда тогда и только тогда, когда .
  • Множество является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
  • Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См. также

Литература

  • Келли, Дж. Л. Общая топология. М.: Наука, 1968.
  • О. Виро. Элементарная топология. 2010.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.