Внутренность

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),}$ где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество ${\displaystyle A\subset X}$.

Ниже рассматривается открытость подмножеств ${\displaystyle B\subset A}$ как подмножеств всего ${\displaystyle X}$ (например, ${\displaystyle A}$ обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом ${\displaystyle X}$ явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Тогда внутренность множества ${\displaystyle A}$ можно определить несколькими эквивалентными способами:

• Внутренность — объединение всех открытых подмножеств ${\displaystyle B\subset A}$:

  ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T}},\;B\subset A}B}$.

• Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество ${\displaystyle A}$:

  ${\displaystyle (\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T}})\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;((B\in {\mathcal {T}})\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))}$.

Точка ${\displaystyle x}$ — внутренняя, а точка ${\displaystyle y}$ — не внутренняя (в данном случае — граничная)

• Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка ${\displaystyle x\in A}$ называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество ${\displaystyle B\subset A}$, такое что ${\displaystyle x\in B}$:

  ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T}}\right\}}$.

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

• Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств ${\displaystyle X}$.
• Внутренность ${\displaystyle \operatorname {int} (A)}$ — открытое множество.
• Множество ${\displaystyle A}$ открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:

  ${\displaystyle (A\in {\mathcal {T}})\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)}$.

  • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
• Операция внутренности идемпотентна:

  ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)}$.

• Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:

  ${\displaystyle (A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)}$.

• В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство с метрикой ${\displaystyle d}$, и ${\displaystyle M}$ — его подмножество. Точка ${\displaystyle x\in M}$ является внутренней для ${\displaystyle M}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$, такое что ${\displaystyle \forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M}$. Иначе говоря, ${\displaystyle x}$ входит в ${\displaystyle M}$ вместе с шаром радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle x}$.

• ${\displaystyle \operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .}$
• Если ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\emptyset }$.
• Если ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ — вещественная прямая со стандартной топологией, и ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle \operatorname {int} ([a,b])=(a,b).}$
• Если ${\displaystyle X}$ — дискретное пространство, то для любого ${\displaystyle A\subset X}$ имеем ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=A}$.

• Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

• Внешность
• Граница
• Замыкание
• Изолированная точка
• Открытое множество
• Предельная точка
• Словарь терминов общей топологии
• ε-окрестность