Относительная внутренность

Формально, относительная внутренность ${\displaystyle r}$ множества ${\displaystyle S}$ (которая обозначается как ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$) определяется как его внутренность в аффинной оболочке множества ${\displaystyle S}$[1]. Другими словами,

${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S|\exists \varepsilon >0,N_{\varepsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$

где ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ означает аффинную оболочку множества ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x)}$ означает шар радиуса ${\displaystyle \varepsilon }$ с центром в ${\displaystyle x}$. Может быть использована любая метрика для построения шара, все метрики определяют одно и то же множество в качестве относительной внутренности.

Для любого непустого выпуклого множества ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ относительная внутренность может быть определена как

${\displaystyle \operatorname {relint} (C):=\{x\in C|\forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}.}$[2][3].

• Внутренность
• Алгебраическая внутренность
• Квазотносительная внутренность

• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — С. 23. — ISBN 0-521-83378-7.