Шар

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Площадь поверхности ${\displaystyle S}$ и объём ${\displaystyle V}$ шара радиуса ${\displaystyle r}$ (и диаметром ${\displaystyle d=2r}$) определяются формулами:

• ${\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}$

• ${\displaystyle S=\ \pi d^{2}}$

• ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• ${\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}$

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Пусть дано метрическое пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ и радиусом ${\displaystyle r>0}$ называется множество

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}$

• Замкнутым шаром с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ называется множество

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}$

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ${\displaystyle \rho }$.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке ${\displaystyle X}$ являют собой её базу.
• Очевидно, ${\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})}$. Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром: ${\displaystyle {\overline {B_{r}(x_{0})}}\neq D_{r}(x_{0}).}$
  • Например: пусть ${\displaystyle (X,\rho )}$ — дискретное метрическое пространство, и ${\displaystyle X}$ состоит из более, чем двух точек. Тогда для любого ${\displaystyle x\in X}$ имеем:

${\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle V/2}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}$

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ — евклидово пространство с обычным Евклидовым расстоянием. Тогда

• если ${\displaystyle d=1}$ (пространство — прямая), то

${\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}$

${\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}$

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если ${\displaystyle d=2}$ (пространство — плоскость), то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если ${\displaystyle d=3}$, то

  ${\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}$

  ${\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}$

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ метрику следующим образом:

  ${\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}$

Тогда

• если ${\displaystyle d=2}$, то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$ — это открытый квадрат с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и сторонами длины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, расположенными по диагонали к координатным осям.
• если ${\displaystyle d=3}$, то ${\displaystyle U_{r}(x_{0})}$ — это открытый трёхмерный октаэдр.

• Шаровой слой
• Гиперсфера
• Сферический слой

• Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

• Вычисление объема и площади шара (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано 8 августа 2011 года.
• Онлайн-калькуляторы (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано 9 января 2019 года.
• Математические этюды (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара