SL(2,R)

SL(2,R) — это группа всех линейных преобразований пространства R², сохраняющие ориентированную площадь. Группа изоморфна симплектической группе Sp(2,R) и обобщённой специальной унитарной группе SU(1,1). Группа изоморфна также группе кокватернионов единичной длины. Группа ${\displaystyle \mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )}$ сохраняет неориентированную площадь — она может сохранять ориентацию.

Фактор PSL(2,R) имеет несколько интересных описаний:

• Это группа сохраняющих ориентацию проективных преобразований вещественной проективной прямой ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \}}$.
• Это группа конформных автоморфизмов единичного круга.
• Это группа сохраняющих ориентацию движений гиперболической плоскости.
• Это ограниченная группа Лоренца трёхмерного пространства Минковского. Эквивалентно, она изоморфна неопределённой ортогональной группе SO⁺(1,2). Отсюда следует, что SL(2,R) изоморфна спинорной группе Spin(2,1)⁺.

Элементы модулярной группы PSL(2,Z) имеют дополнительные интерпретации, как элементы группы SL(2,Z) (как линейные преобразования тора), и эти представления можно также рассматривать в свете общей теории группы SL(2,R).

Собственные значения элемента ${\displaystyle A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}$ удовлетворяют уравнению для характеристического многочлена

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

А потому

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:

• Если |tr(A)|< 2, то элемент (матрица) A называется эллиптическим и она является поворотом.
• Если |tr(A)|= 2, то элемент A называется параболическим и она является растяжением пространства.
• Если |tr(A)|> 2, то элемент A называется гиперболическим и является отображением сжатия.

Названия соответствуют классификации конических сечений по эксцентриситету — если определить эксцентриситет как половину значения следа (${\displaystyle \epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr}$. Деление на 2 подправляет эффект размерности, в то время как абсолютное значение соответствует игнорированию знака (множителя ${\displaystyle \pm 1}$), когда работаем с PSL(2, R)), откуда следует: ${\displaystyle \epsilon <1}$ для эллиптического элемента, ${\displaystyle \epsilon =1}$ для параболического, ${\displaystyle \epsilon >1}$ для гиперболического.

Единичный элемент 1 и отрицательный элемент −1 (в PSL(2,R) они совпадают), имеют след ${\displaystyle \pm 2}$, а потому по этой классификации являются параболическими элементами, хотя они часто рассматриваются отдельно.

Та же классификация используется для SL(2,C) и PSL(2,C) (преобразования Мёбиуса) и PSL(2,R) (вещественные преобразования Мёбиуса) с добавлением «локсодромных» преобразований, соответствующих комплексным следам. Аналогичные классификации используются во многих других местах.

Подгруппа, содержащая эллиптические (соответственно, параболические и гиперболические) элементы, плюс единичный элемент и отрицательный для него, называется эллиптической подгруппой (соответственно, параболической подгруппой, гиперболической подгруппой).

Эта классификация по подмножествам, не по подгруппам — эти множества не замкнуты по умножению (произведение двух параболических элементов не обязательно будет параболическим, например). Однако все элементы соединяются в 3 стандартные однопараметрические подгруппы, как описано ниже.

Топологически, поскольку след является непрерывным отображением, эллиптические элементы (без ${\displaystyle \pm 1}$) являются открытым множеством, как и гиперболические элементы (без ${\displaystyle \pm 1}$), в то время как параболические элементы (включая ${\displaystyle \pm 1}$) являются замкнутым множеством.

Как топологическое пространство, PSL(2,R) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости. Оно является расслоением на окружности и имеет естественную контактную структуру, порождённую симплектической структурой на гиперболической плоскости. Группа SL(2,R) является 2-кратным накрытием группы PSL(2,R) и её можно рассматривать как расслоение спиноров на гиперболической плоскости.

Фундаментальная группа группы SL(2,R) является конечной циклической группой Z. Универсальная накрывающая группа, обозначаемая ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$, является примером конечномерной группы Ли, не являющейся матричной группой. То есть ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ не допускает точного конечномерного представления.

Как топологическое пространство ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ является линейным расслоением над гиперболической плоскостью. Если пространство снабжено левоинвариантно метрикой, трёхмерное многообразие ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ становится одним из восьми геометрий Тёрстона. Например, ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ является универсальным накрытием единичного касательного расслоения для любой гиперболической поверхности. Любое многообразие, смоделированное на ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$, является ориентируемым и является расслоением на окружности над некоторым двумерным гиперболическим орбиобразием (расслоение Зейферта).

Группа кос B₃ является универсальным центральным расширением модулярной группы.

При таком накрытии прообраз модулярной группы PSL(2,Z) является группой кос на 3 генераторах, B₃, которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. Они являются решётками внутри соответствующих алгебраических групп и это соответствует алгебраически универсальной накрывающей группе в топологии.

2-кратная накрывающая группа может быть названа Mp(2,R), метаплектической группой, если понимать SL(2,R) как симплектическую группу Sp(2,R).

Вышеупомянутые группы образуют последовательность:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

Однако, имеются другие накрывающие группу PSL(2,R) группы, соответствующие всем n, таким, что ${\displaystyle n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))}$, так что они образуют решётку накрывающих групп по делимости. Они являются накрытием SL(2,R) тогда и только тогда, когда n чётно.

Центр группы SL(2,R) является двухэлементной группой ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ и фактор PSL(2,R) является простой группой.

Дискретные подгруппы группы PSL(2,R) называются фуксовыми группами. Они являются гиперболическим аналогом евклидовых групп обоев и групп бордюра. Наиболее известной из них является модулярная группа PSL(2,Z), которая действует на замощение гиперболической плоскости идеальными треугольниками.

Группа U(1), которую можно рассматривать как SO(2), является максимальной компактной подгруппой группы SL(2,R) и окружность ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\}}$ является максимальной компактной подгруппой группы PSL(2,R).

Мультипликатор Шура дискретной группы PSL(2,R) много больше группы Z и универсальное центральное расширение много больше универсальной накрывающей группы. Однако эти большие центральные расширения не принимают во внимание топологию и в чём-то патологичны.

SL(2,R) является вещественной некомпактной простой группой Ли и является расщепленной вещественной формой комплексной группы Ли SL(2,C). Алгебра Ли группы SL(2,R), обозначаемая как sl(2,R), является алгеброй всех вещественных, бесследовых[2] ${\displaystyle 2\times 2}$ матриц. Это алгебра Бьянки типа VIII.

Конечномерная теория представлений группы SL(2,R) эквивалентна теории представлений SU(2), которая является компактной вещественной формой группы SL(2,C). В частности, SL(2,R) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это является свойством любой связной простой некомпактной группы Ли. Для наброска доказательства см. статью «Неунитарность представления».

Бесконечномерная теория представлений группы SL(2,R) весьма интересна. Группа имеет несколько семейств унитарных представлений, которые в деталях разрабатывали Гельфанд и Наймарк (1946), В. Баргман (1947) и Хариш-Чандра (1952).