Спинорная группа

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над $V$ (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$ , где $q_{i}\in V$ — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством $\mathbb {R} ^{n}$ обычно обозначается $\operatorname {Spin} (n)$ . Существует короткая точная последовательность

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы $\operatorname {SO} (n)$ . Гомоморфизм $\operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение $R_{q}$ относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n}$ можно сопоставить композицию отражений

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n}}

которая принадлежит группе $\operatorname {SO} (n)$ .

Строение первых спинорных групп

\operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0}

\operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1}

\operatorname {Spin} (3)\simeq \operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}

\operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatorname {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3}

\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatorname {Spin} (6)\simeq \operatorname {SU} (4)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.