Композиция функций

Пусть даны две функции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ и ${\textstyle G\colon F[X]\to Z,}$ где ${\displaystyle F[X]\subseteq Y}$ — образ множества ${\displaystyle X.}$ Тогда их композицией называется функция ${\displaystyle G\circ F\colon X\to Z}$, определённая равенством[3]:

${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.}$

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент[4]. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных[5]. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию ${\displaystyle G}$ вида

  ${\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),}$

потому что она представляет собой функцию ${\displaystyle F}$, на вход которой подаются результаты функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.

• Композиция ассоциативна:

  ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).}$

• Если ${\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle X}$, то есть

  ${\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,}$

то ${\displaystyle G\circ F=G.}$

• Если ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$ — тождественное отображение на ${\displaystyle Y}$, то есть

  ${\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,}$

то ${\displaystyle G\circ F=F.}$

• Композиция отображений ${\displaystyle F\colon X\to X}$, ${\displaystyle G\colon X\to X}$, вообще говоря, не коммутативна, то есть ${\displaystyle F\circ G\not =G\circ F.}$ Например, даны функции ${\displaystyle F\colon x\mapsto x^{2},~G\colon x\mapsto 2x}$ — тогда ${\displaystyle G\circ F\colon x\mapsto 2x^{2},}$ однако ${\displaystyle F\circ G\colon x\mapsto 4x^{2}.}$

• Пусть функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$, а функция ${\displaystyle g\colon f[X]\subseteq Y\to Z}$ имеет в точке ${\displaystyle b}$ предел ${\displaystyle \lim _{y\to b}g(y)}$. Тогда, если существует проколотая окрестность точки ${\displaystyle a}$, пересечение которой с множеством ${\displaystyle X}$ отображается функцией ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ в проколотую окрестность точки ${\displaystyle b}$, то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).}$
• Если функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ имеет в точке ${\displaystyle a}$ предел ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$, а функция ${\displaystyle g\colon f(X)\subseteq Y\to Z}$ непрерывна в точке ${\displaystyle b}$, то в точке ${\displaystyle a}$ существует предел композиции функций ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ и выполнено равенство: ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).}$
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}$ — топологические пространства. Пусть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon f[X]\subseteq Y\to Z}$ — две функции, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in C(y_{0}),}$ где ${\displaystyle C}$ — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда ${\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ и ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$. Тогда ${\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$, и

${\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}$.

1. Обозначение (неопр.).
2. Composition of Functions (неопр.). www.mathsisfun.com. Дата обращения: 10 мая 2021.
3. Кострикин, 2004, с. 37-38.
4. Производная сложной функции (неопр.). www.math24.ru. Дата обращения: 10 мая 2021.
5. функции нескольких переменных (неопр.).

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0487-Х.