Точная последовательность

Точная последовательность — последовательность алгебраических объектов $G_{i}$ с последовательностью гомоморфизмов $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ , такая что для любого $i$ образ $\varphi _{i-1}$ совпадает с ядром $\varphi _{i}$ (если оба гомоморфизма с такими индексами существуют). В большинстве приложений роль $G_{i}$ играют коммутативные группы, иногда векторные пространства или алгебры над кольцами.

Связанные определения

Точные последовательности типа
$0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

называются короткими точными последовательностями, в этом случае

\varphi

— мономорфизм, а

\psi

— эпиморфизм.

При этом, если у $\varphi$ есть правый обратный или у $\psi$ левый обратный морфизм, то $B$ можно отождествить с $A\oplus C$ таким образом, что $\varphi$ отождествляется с каноническим вложением $A$ в $A\oplus C$ , а $\psi$ — с канонической проекцией $A\oplus C$ на $C$ . В этом случае короткая точная последовательность называется расщепляющейся.

Длинная точная последовательность — это точная последовательность с бесконечным числом объектов и гомоморфизмов.
Если $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$ то последовательность называется полуточной.

Примеры

В теории гомотопических групп большое значение имеет точная последовательность пары, в частности, точная последовательность расслоения. Если $F\to M\to B$ — локально тривиальное расслоение над $B$ со слоем $F$ , то следующая последовательность гомотопических групп точна[1]:

\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)

Точная последовательность Майера — Вьеториса имеет большое значение для вычисления групп гомологий сложных пространств:

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}

Цепной комплекс — это полуточная последовательность абелевых групп.
Пусть $E\to X$ — локально тривиальное расслоение многообразий. Тогда с ним связана[2] короткая точная последовательность расслоений

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

и двойственная к ней

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Здесь

TE

— касательное расслоение к многообразию

E

,

VX

и

HX

— вертикальное и горизонтальное расслоения к

X

соответственно.

^{*}

обозначает двойственное расслоение (кокасательное и т. п.).

Экспоненциальная точная последовательность

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0,

где

{\mathcal {O}}_{M}

и

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

— пучок голоморфных функций на комплексном многообразии

M

и его подпучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций

Литература

Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.
Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971.

[2] Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.