Экспоненциальная точная последовательность

Пусть ${\displaystyle M}$ — комплексное многообразие, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{*}}$ — пучок голоморфных функций и его под пучок, состоящий из нигде не обнуляющихся функций. Комплексная экспонента задаёт отображение

${\displaystyle \exp$ :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},}

которое является гомоморфизмом пучков абелевых групп. Это отображение локально сюръективно и имеет ядро ${\displaystyle 2\pi \mathbb {Z} }$, что даёт экспоненциальную точную последовательность[1]

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

Эта точная последовательность не сюръективна на глобальных сечениях, например, в проколотом диске, зато она продолжается до длинной точной последовательности когомологий пучков, которая начинается как

${\displaystyle 0\to H^{0}(\mathbb {Z} )\to H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{N}^{*})\to H^{1}(\mathbb {Z} )\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots }$

где ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})}$ — группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений, а ${\displaystyle c_{1}}$ — первый класс Черна[1].