Комплексное многообразие

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в ${\displaystyle n}$-мерном комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат ${\displaystyle \omega ^{i}=u^{i}(z^{1},...,z^{n})}$ является комплексно-аналитическим. То есть функции ${\displaystyle u^{i}}$ являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial (\omega ^{1},\dots ,\omega ^{n})}{\partial (z^{1},...,z^{n})}}\neq 0}$.

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.
• Комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$[2]. В частности, ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$

Эрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{j,k}h_{j{\overline {k}}}dz^{j}d{\overline {z^{k}}}}$,

где ${\displaystyle h_{j{\overline {k}}}=h_{{\overline {j}}k}}$ — комплексные функции[3].