Хаусдорфово пространство

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.

Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если любые две различных точки $x$ , $y$ из $X$ обладают непересекающимися окрестностями $U(x)$ , $V(y)$ .

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как $L^{p}\$ или $W^{1,\;p}$ , $p\geqslant 1\$ .

Если топологическая группа является T₀-пространством, то она хаусдорфова. Если T₀ не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства

Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовом квадрате $X\times X$ пространства $X$ .
В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

Примечания

D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).

Литература

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — 2-е, стереотипное. — М.: Лань, 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-8114-0981-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).