Фильтр (математика)

Фильтр — подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году[1][2] и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество $F$ полурешётки $L$ называется фильтром, если

для всех $a,b\in F$ , $a\land b\in F$
для всех $a\in F$ и $b$ таких, что $a\leq b$ , $b\in F$

Фильтр называется собственным, если $F\neq L$ .

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$ решётки называется простым, если в нём для всех $a,b\in L$ из того, что $a\lor b\in F$ , следует, что либо $a\in F$ , либо $b\in F$ .

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$ , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$ .

Если $F$ фильтр, то $L\backslash F$ является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре $M$ называется подмножество $D\subseteq M$ , для которого выполняются условия[3]:

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на $M$ .

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$ можно определить решётку его подмножеств $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ . Тогда фильтр ${\mathfrak {F}}$ на $X$ определяется как подмножество ${\mathcal {P}}(X)$ , удовлетворяющее следующим условиям[4]:

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F}}$
пересечение любых двух элементов ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$
надмножество любого элемента ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$

Фильтр вида ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ называется фильтром, порожденным множеством $Z$ . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$ . Семейство подмножеств ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ называется базой (базисом) фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если любой элемент фильтра ${\mathfrak {F}}$ содержит некоторый элемент базы ${\mathfrak {B}}$ , то есть для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $B\subset Y$ . При этом фильтр ${\mathfrak {F}}$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из ${\mathfrak {B}}$ . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база ${\mathfrak {B}}$ порождает фильтр ${\mathfrak {F}}$

Для того, чтобы семейство ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ подмножеств множества $X$ являлось базой некоторого фильтра на $X$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
для любых $A,B\in {\mathfrak {B}}$ существует $C\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $A\cap B\supset C$ .

Две базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ называются эквивалентными, если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ , и наоборот, любой элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ содержит в себе некоторый элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ .

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе ${\mathfrak {B}}$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр ${\mathfrak {F}}$ . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве $X$ заданы два фильтра ${\mathfrak {F}}$ и ${\mathfrak {F}}'$ . Говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}'$ мажорирует фильтр ${\mathfrak {F}}$ ( ${\mathfrak {F}}'$ сильнее ${\mathfrak {F}}$ , ${\mathfrak {F}}'$ тоньше ${\mathfrak {F}}$ ), если ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ . В этом случае также говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}$ мажорируется фильтром ${\mathfrak {F}}'$ ( ${\mathfrak {F}}$ слабее ${\mathfrak {F}}'$ , ${\mathfrak {F}}$ грубее ${\mathfrak {F}}'$ ).

Говорят, что база ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$ , и записывают ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ , если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ . База ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$ тогда и только тогда, когда фильтр ${\mathfrak {F}}'$ , порожденный базой ${\mathfrak {B}}'$ , сильнее фильтра ${\mathfrak {F}}$ , порожденного базой ${\mathfrak {B}}$ .

Базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$ .

Фильтры в топологических пространствах

Пусть $(X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство и ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$ . Точка $a\in X$ называется пределом фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если любая окрестность $V(a)$ точки $a$ принадлежит фильтру ${\mathfrak {F}}$ . Обозначение: $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ . Если $a$ является единственным пределом фильтра, то также пишут $a=\lim {\mathfrak {F}}$ .

Для фильтра ${\mathfrak {F}}$ , порожденного базой ${\mathfrak {B}}$ , точка $a$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность $V(a)$ целиком содержит некоторое множество из ${\mathfrak {B}}$ .

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка $a\in X$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если $a$ принадлежит замыканию любого множества из ${\mathfrak {F}}$ , то есть $a\in {\overline {Y}}$ для всех $Y\in {\mathfrak {F}}$ . Равносильно, для любой окрестности $V(a)$ точки $a$ и для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ выполнено $V(a)\cap Y\neq \varnothing$ . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
Если $X$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
Если $X$ — бесконечное множество мощности ${\mathfrak {m}}$ , то множество дополнений множеств мощности $<{\mathfrak {m}}$ тоже является фильтром.

См. также

Примечания

H. Cartan, «Théorie des filtres», CR Acad. Paris, 205, (1937) 595—598.
H. Cartan, «Filtres et ultrafiltres», CR Acad. Paris, 205, (1937) 777—779.
Лавров, 1975, с. 22.
Александрян, 1979, с. 100.

Литература

Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — 336 с.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] H. Cartan, «Théorie des filtres», CR Acad. Paris, 205, (1937) 595—598.

[2] H. Cartan, «Filtres et ultrafiltres», CR Acad. Paris, 205, (1937) 777—779.

[_6d8f30455373129d-3] Лавров, 1975, с. 22.

[_ebe2929372106e1d-4] Александрян, 1979, с. 100.