Метризуемое пространство

• В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.
• Каждое метризуемое пространство паракомпактно.
• Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.
• Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, спред, экстент, вес.

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

• пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
• (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет ${\displaystyle T_{1}}$-аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства ${\displaystyle X}$ называется фундаментальным, если для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$, каждой её окрестности ${\displaystyle U_{x}}$ найдутся покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и окрестность ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ такие, что каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, пересекающийся с ${\displaystyle O_{x}}$, содержится в ${\displaystyle U_{x}}$.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

• Критерий Нагаты — Смирнова: пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ называется регулярной (равномерной), если для всякой точки ${\displaystyle x\in X}$ и любой её окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ найдется окрестность ${\displaystyle U_{x}}$ этой точки такая, что число элементов базы ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, пересекающих одновременно ${\displaystyle U_{x}}$ и дополнение к ${\displaystyle O_{x}}$, конечно (соответственно, если множество элементов ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ таких что ${\displaystyle \Omega \ni x}$, ${\displaystyle \Omega \not \subset O_{x}}$ конечно).

• Пространство ${\displaystyle X}$ метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
• Для метризуемости ${\displaystyle T_{1}}$-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского, счётная степень ежа колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ (при ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}}$) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.[1]

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта ${\displaystyle X}$ любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

• ${\displaystyle X}$ обладает счётной базой;
• ${\displaystyle X}$обладает точечно-счётной базой;
• в ${\displaystyle X}$ есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости ${\displaystyle T_{0}}$, причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху, то есть является множеством типа G_δ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.