G-дельта-множество

G-дельта-множество ( $G_{\delta }$ -множество) — борелевское множество в топологическом пространстве, которое является счётным пересечением открытых множеств.

Термин происходит от нем. Gebiet, (буквально — область), в данном контексте означает открытое множество, а δ означает нем. Durchschnitt — пересечение.

Определение

G-дельта-множество есть счётное пересечение открытых подмножеств топологического пространства.

Примеры

Открытые множества в любых топологических пространствах.
Замкнутые множества в метрических пространствах.
Множество иррациональных чисел на вещественной прямой.
- При этом множество рациональных чисел на вещественной прямой не является G-дельта-множеством. Последнее следует из теоремы Бэра.

Свойства

Всякое G-дельта-множество является борелевским.
Пересечение счётного количества G-дельта-множеств является G-дельта-множеством.
Объединение конечного числа G-дельта-множеств является G-дельта-множествами.
В метризуемых пространствах замкнутые множества являются G-дельта-множествами.
Подпространство $A$ полного метрического пространства допускает эквивалентную полную метрику тогда и только тогда, когда $A$ есть G-дельта-множество.

См. также

Категория Бэра
F-сигма-множество — двойственное понятие.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.