Универсальное пространство

Универсальное пространство (относительно некоторого класса топологических пространств ${\mathcal {K}}$ ) — топологическое пространство $X$ , такое, что $X$ принадлежит классу ${\mathcal {K}}$ и каждое пространство $Y$ из класса ${\mathcal {K}}$ вкладывается в $X$ , то есть $Y$ гомеоморфно подпространству пространства $X$ . С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства[1]. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении[1][2].

Примеры

Примеры универсальных пространств (далее ${\mathfrak {m}}$ — кардинал, такой, что ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ , то есть ${\mathfrak {m}}$ бесконечный):

Александровский куб $F^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень связного двоеточия $F$ (то есть пространства $\{0;1\}$ с топологией, состоящей из пустого множества, всего пространства и множества $\{0\}$ ) — универсален для всех T₀-пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ [3].
Тихоновский куб $I^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень единичного отрезка $I=[0;1]$ — универсален для всех тихоновских пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ и для всех компактных хаусдорфовых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ [4].
Гильбертов кирпич $I^{\aleph _{0}}$ — счётная степень единичного отрезка — универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств[5].
$J({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}$ — счётная степень ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ — универсально для всех метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ [6].
Пространство рациональных чисел $\mathbb {Q}$ (с естественной топологией) универсально для всех счётных метризуемых пространств[7].
Канторов куб $D^{\mathfrak {m}}$ — ${\mathfrak {m}}$ -я степень двухточечного дискретного пространства — универсален для всех нульмерных пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ [8].
Пространство Бэра $B({\mathfrak {m}})=D({\mathfrak {m}})^{\aleph _{0}}$ — счётная степень дискретного пространства мощности ${\mathfrak {m}}$ — универсально для всех нульмерных в смысле Ind метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ [9].
Подпространство евклидова пространства $\mathbb {R} ^{2n+1}$ , образованное всеми точками, не более чем $n$ координат которых рациональны, универсально для всех метризуемых сепарабельных пространств размерности не больше $n$ [10].
Существует компакт, универсальный для всех тихоновских пространств $X$ веса ${\mathfrak {m}}\geqslant \aleph _{0}$ , таких, что $\dim X\leqslant n$ (то есть размерность Лебега $X$ не больше $n$ )[11].

Литература

Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_c53d02e143cf90f5-1] Энгелькинг, 1986, с.136-137.

[_d5661596584e277b-2] Келли, 1968, с.157-159.

[_81d3c930f2fea91b-3] Энгелькинг, 1986, с.138.

[_8c2f4430f956892e-4] Энгелькинг, 1986, с.137.

[_89b7c63cd8019df3-5] Энгелькинг, 1986, с.387.

[_ac0dd904c88a358a-6] Энгелькинг, 1986, с.418.

[_0de2a20500ac85a3-7] Энгелькинг, 1986, с.413.

[_0a88b8cfc18f3acb-8] Энгелькинг, 1986, с.534.

[_5ba66723297895cb-9] Энгелькинг, 1986, с.596.

[_d56899a6e053d3e0-10] Энгелькинг, 1986, с.618.

[_2f97e2a711f707d9-11] Энгелькинг, 1986, с.617.