Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$ , единичного полуинтервала $\mathbb {P} =(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности ${\mathfrak {m}}$ , называемой колючестью ежа, как:

J({\mathfrak {m}})=\{O\}\cup (\mathbb {P} \times S)

,

с введением метрики следующим образом:

$d(O,(x,s))=x$
$d((x,s_{1}),(y,s_{2}))={\begin{cases}|x-y|,&s_{1}=s_{2}\\x+y,&s_{1}\neq s_{2}\end{cases}}$ .

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$ , $J(1)=J(2)$ — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса ${\mathfrak {m}}$ . То есть любое метризуемое пространство веса ${\mathfrak {m}}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести ${\mathfrak {m}}$ .[1]

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ [2], не сильно паракомпактен при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$ [3].

Не является локально сепарабельным при ${\mathfrak {m}}>\aleph _{0}$ [4].

$J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в $J({\mathfrak {n}})$ при ${\mathfrak {m}}\leq {\mathfrak {n}}$ .

$J({\mathfrak {m}})$ вкладывается в плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ только при ${\mathfrak {m}}<\aleph _{0}$ .

Если ${\mathfrak {m}}$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J({\mathfrak {m}})$ равны $\aleph _{0}$ . Иначе (при ${\mathfrak {m}}\geq \aleph _{0}$ ) характер равен $\aleph _{0}$ , а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны ${\mathfrak {m}}$ [5].

Квадрат триода $J(3)$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{3}$ .

На плоскости ( $\mathbb {R} ^{2}$ ) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$ так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$ и $J(2)$ ).

Примечания

Swardson, M. A. A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem (неопр.). американское математическое общество (1 июня 1979).
Энгелькинг, 1986, с. 395.
Энгелькинг, 1986, с. 528.
Энгелькинг, 1986, с. 425.
Энгелькинг, 1986, с. 375.

Литература

Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Swardson, M. A. A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem (неопр.). американское математическое общество (1 июня 1979).

[_c41667f5a02f17c0-2] Энгелькинг, 1986, с. 395.

[_c41cdcf5a0344a4a-3] Энгелькинг, 1986, с. 528.

[_c4205ef5a0375d1a-4] Энгелькинг, 1986, с. 425.

[_c41669f5a02f1b6e-5] Энгелькинг, 1986, с. 375.