Размерность Лебега

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

• Неравенство

  ${\displaystyle \dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.}$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$:

• метризуемость,
• компактность,
• локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства ${\displaystyle X}$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на ${\displaystyle X}$.
• Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство ${\displaystyle X}$ имеет размерность ${\displaystyle \dim X\leqslant n}$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}}$ пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное покрытие ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, которое состоит из ${\displaystyle n+1}$ подсемейств ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}}$ таких, что каждое подсемейство ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}}$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность ${\displaystyle n}$-мерного куба равна ${\displaystyle n}$. Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта ${\displaystyle \dim X}$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973