Размерность Минковского

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра ${\displaystyle 1/n}$, нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра ${\displaystyle 2/n}$. Поэтому для отрезка имеем ${\displaystyle \rho (n)\approx 2\rho (n/2)}$. То есть, при увеличении ${\displaystyle n}$ в два раза ${\displaystyle \rho (n)}$ увеличивается тоже в два раза. Иными словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/2)}$. То есть, при увеличении ${\displaystyle n}$ в два раза ${\displaystyle \rho (n)}$ увеличивается в 4 раза. Иными словами, ${\displaystyle \rho (n)}$ — квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё ${\displaystyle \rho (n)\approx 4\rho (n/3)}$. Подставляя ${\displaystyle n=3^{k}}$, получаем ${\displaystyle \rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{k-1})\approx 4^{2}\rho (3^{k-2})\approx \dots \approx 4^{k}\rho (1)=4^{\log _{3}n}\rho (1)=n^{\ln 4/\ln 3}\rho (1)}$. Отсюда следует, что размерность равна ${\displaystyle \ln 4/\ln 3}$.

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет ${\displaystyle 4^{n}}$ равных отрезков, длиной ${\displaystyle 3^{-n}}$. Возьмём за ε отрезок длиной ${\displaystyle 3^{-n}}$, тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится ${\displaystyle 4^{n}}$ отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→${\displaystyle \infty }$. Получим

  ${\displaystyle \lim \limits _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\ln(4^{n})}{-\ln(3^{-n})}}={\frac {\ln 4}{\ln 3}}}$