Диффеоморфизм Аносова

Диффеоморфизм ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ — диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно, существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, E^u и E^s, инвариантных относительно динамики, причём на E^u динамика экспоненциально растягивает, а на E^s экспоненциально сжимает:

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},}$

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},}$

где ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ и ${\displaystyle \mu >1>\lambda >0}$ — константы.

• Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует такая его окрестность в пространстве диффеоморфизмов класса C¹, любой диффеоморфизм g из которой сопряжён с f некоторым гомеоморфизмом h:

${\displaystyle f\circ h=h\circ g.}$

Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой координат (правда, лишь непрерывной!).

• Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

${\displaystyle \|f^{-n}(v)\|\leq c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}.}$

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$ на двумерном торе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$.

Более обще, если матрица ${\displaystyle A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )}$ не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ (корректно определённый, поскольку A сохраняет ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$) будет диффеоморфизмом Аносова.

• В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.