Жорданова матрица
Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем , с блоками вида
Каждый блок называется жордановой клеткой с собственным значением (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).
Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы над алгебраически замкнутым полем (например, полем комплексных чисел ) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица над , такая, что
является жордановой матрицей. При этом называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы . В этом случае также говорят, что жорданова матрица в поле подобна (или сопряжена) данной матрице . И наоборот, в силу эквивалентного соотношения
матрица подобна в поле матрице . Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.
Свойства
- Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле
- где — единичная матрица того же порядка что и , символ обозначает ранг матрицы, а , по определению, равен порядку . Вышеприведённая формула следует из равенства
- В случае если поле не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица была подобна над некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле содержало все корни характеристического многочлена матрицы .
- У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
- Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
- Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.
История
Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.
Вариации и обобщения
- Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: , где и — вещественные числа, . В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок , и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида , отвечающие парам комплексных собственных значений:[1][2]
- Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов (умножение вектора на задаётся как применение линейного оператора).
- Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.
См. также
Примечания
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson) Матричный анализ. — М.: Мир, 1989 (ISBN 5-03-001042-4).
Литература
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
- Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
- Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
- В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.