Каноническая форма Вейра

Элементарная матрица Вейра с собственным значением ${\displaystyle \lambda }$ это ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle W}$ следующего вида:

Пусть задано разбиение

${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n}$ числа ${\displaystyle n}$, где ${\displaystyle n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1}$ такое, что, когда ${\displaystyle W}$ рассматривается как блочная ${\displaystyle r\times r}$-матрица ${\displaystyle (W_{ij})}$, где ${\displaystyle (i,j)}$-й блок ${\displaystyle W_{ij}}$ представляет собой матрицу ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$, причём выполнены следующие три условия:

1. Блоки главной диагонали ${\displaystyle W_{ii}}$ являются ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$-скалярными матрицами ${\displaystyle \lambda I}$, где ${\displaystyle i=1,\ldots ,r}$.
2. Блоки первой наддиагонали ${\displaystyle W_{i,i+1}}$ являются ${\displaystyle n_{i}\times n_{i+1}}$-матрицы полного столбцового ранга, имеющая ступенчатый вид по строкам (то есть единичная матрица, за которой следуют нулевые строки), где ${\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}$.
3. Все остальные блоки матрицы ${\displaystyle W}$ являются нулевыми (то есть ${\displaystyle W_{ij}=0}$, где ${\displaystyle j\neq i,i+1}$).

В данном случае говорят, что ${\displaystyle W}$ имеет структуру Вейра ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})}$.

Пример элементарной матрицы Вейра:

${\displaystyle W={}}$${\displaystyle {}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\\end{bmatrix}}.}$

В данной матрице ${\displaystyle n=10}$ и ${\displaystyle n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1}$. Таким образом, матрица ${\displaystyle W}$ имеет структуру Вейра ${\displaystyle (4,2,2,1)}$. Также

${\displaystyle W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{4},\quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{1}}$

и

${\displaystyle W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix}},\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.}$

Пусть ${\displaystyle W}$ — квадратная матрица, а ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ — различные собственные значения матрицы ${\displaystyle W}$. Говорят, что ${\displaystyle W}$ — форма Вейра (или матрица Вейра), если ${\displaystyle W}$ имеет следующий вид:

${\displaystyle W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix}},}$

где ${\displaystyle W_{i}}$ — элементарная форма Вейра с собственным значением ${\displaystyle \lambda _{i}}$, где ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$.