Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}

Свойства

a\cdot E_{n}=A_{n}

Множество скалярных матриц $n\times n$ — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами $n\times n$ , то есть для любой скалярной матрицы $S$ и матрицы $A$ того же размера $AS=SA.$
$\operatorname {det} A_{n}=a^{n}$
$\operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}$
$A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}$ , где $E_{n}$ - единичная матрица
Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.