Гиперболоидная модель

Если ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})}$ являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, квадратичная форма Минковского определяется как

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$

Вектора ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n+1}}$, такие, что ${\displaystyle Q(v)=1}$, образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист ${\displaystyle S^{+}}$, где ${\displaystyle x_{0}>0}$ и нижний, или прошлое, лист ${\displaystyle S^{-}}$, где ${\displaystyle x_{0}<0}$. Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего ${\displaystyle S^{+}}$.

Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$

Или в явном виде,

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства ${\displaystyle S^{+}}$ задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))}$,

где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.

Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$

${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$

и используем w как параметр для точек на геодезической, то

${\displaystyle \mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w}$

будет точкой на геодезической[1].

Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O⁺(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO⁺(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S⁺ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle A}$ принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$

Группа SO⁺(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.

• В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм Киллинг[2][3][4] использовал представление геометрии Лобачевского, которое он приписывает Карлу Вейерштрассу. В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ или для произвольных размерностей ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$, где ${\displaystyle k}$ является двойственной мерой кривизны, ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ означает евклидову геометрию, ${\displaystyle k^{2}>0}$ эллиптическую геометрию, а ${\displaystyle k^{2}<0}$ означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Киллинг».

• Согласно Джереми Грею (1986)[5] Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$[6]. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре[7]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Пуанкаре».

• Также Хомершем Кокс в 1882[8][9] использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$, а также соотношению ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Кокс».

• Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ и ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$[10]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Линдерман».

• Координаты Вейерштрасса использовали также Герард (1892), Хаусдорф (1899), Вудс (1903) и Либман (1905).

Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, координаты Вейерштрасса точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ равны

${\displaystyle (x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1},}$

что можно сравнить с выражением

${\displaystyle (x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1}}$

для модели полусферы[11].

Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

${\displaystyle \mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,}$

где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов путём использования алгебры физики[1].

Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»[12]. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly[13].

Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.

В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса[15].

• Конформно-евклидова модель
• Гиперболические кватернионы