Однородное пространство

Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.

Тор. Стандартный тор является однородным по группам его диффеоморфизмов и гомеоморфизмов, а плоский тор однороден по его группам диффеоморфизмов, гомеоморфизмов и изометрий.

Определение

Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.

  • Элементы X называются точками однородного пространства.
  • Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
  • Подгруппа , фиксирующая элемент , называется стабилизатором .
  • Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.

Свойства

  • Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
  • Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.

Примеры

Метрические пространства
  • Евклидово пространство с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа ортогональных преобразований.
  • Стандартная сфера со следующими действиями:
    • Группы ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе .
    • Группы  — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе .
  • Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
  • Антидеситтеровское пространство: .
  • Грассманиан: .
Другие

Вариации и обобщения

См. также

Литература

  • Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. В 10 томах. М.: «Наука», 1988. — Т. 2. — ISBN 5-02-014420-7.
  • Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology (англ.). — John Wiley and Sons, 1972.
  • John Milnor, James D. Stasheff. Characteristic Classes (англ.). Princeton University Press, 1974. — ISBN 0-691-08122-0.
  • Takashi Koda. An Introduction to the Geometry of Homogeneous Spaces (англ.). — Kyungpook National University.
  • Menelaos Zikidis. Homogeneous Spaces (англ.). — Heidelberg University.
  • Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu. chapter X // Foundations of Differential Geometry (англ.). — Wiley Classics Library, 1969. — Vol. 2.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.