Классификация Бьянки

• Размерность 0: единственной алгеброй Ли является тривиальная нульмерная алгебра.
• Размерность 1: единственной алгеброй Ли является абелева алгебра Ли ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Её группа внешних автоморфизмов есть мультипликативная группа ненулевых вещественнных чисел.
• Размерность 2: есть две алгебры Ли:
  1. Абелева алгебра Ли ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с группой внешних автоморфизмов ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ .
  2. Разрешаемая алгебра Ли верхнетреугольных 2×2-матриц с нулевым следом. Она имеет тривиальный центр и тривиальную группу внешних автоморфизмов. Ассоциированная односвязная группа Ли — группа аффинных преобразований прямой (иногда она называется ${\displaystyle (a\cdot x+b)}$-группой).

Все трёхмерные алгебры Ли, кроме типов VIII и IX, могут быть построены как полупрямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} }$, причем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ действует на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ некоторой 2×2-матрицей ${\displaystyle M}$. Разные типы соответствуют разным типам матриц ${\displaystyle M}$, как описано ниже.

• Тип I. Это абелева и унимодулярная алгебра Ли ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Её односвязная группа имеет центр ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и группу внешних автоморфизмов ${\displaystyle GL(3,\mathbb {R} )}$. Это тот случай, когда ${\displaystyle M}$ равно 0.
• Тип II: алгебра Гейзенберга, которая является нильпотентной и унимодулярной. Односвязная группа имеет центр ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и группу внешних автоморфизмов ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$. Это тот случай, когда ${\displaystyle M}$ нильпотентна, но не 0 (все собственные значения 0).
• Тип III: эта алгебра является произведением ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и 2-мерной неабелевой алгебры Ли. (Это предельный случай типа VI, когда одно собственное значение обращается в ноль.) Она разрешима и не унимодулярна. У односвязной группы есть центр ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Её группа внешних автоморфизмов — группа ненулевых вещественных чисел. Матрица ${\displaystyle M}$ имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.
• Тип IV: алгебра, определяется равенствами [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = y + z. Она разрешима и не унимодульна. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющихся произведением вещественных чисел и группы порядка 2. Матрица ${\displaystyle M}$ имеет два равных ненулевых собственных значения, но не диагонализуема.
• Тип V: [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = z . Решаема и не унимодулярна. (Предельный случай типа VI, когда оба собственных значения равны.) Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют элементы ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ определителя +1 или −1. Матрица ${\displaystyle M}$ имеет два равных собственных значения и диагонализуема.
• Тип VI: бесконечное семейство: полупрямые произведения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, где матрица ${\displaystyle M}$ имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с ненулевой суммой. Алгебры разрешимы и не унимодулярны. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
• Типа VI_0: Эта алгебра Ли является полупрямым произведением ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, где матрица М имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с нулевой суммой. Она разрешима и унимодульна. Это алгебра Ли 2-мерной группы Пуанкаре — группы изометрий 2-мерного пространства Минковского. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, произведение положительных вещественных чисел с группой диэдра порядка 8.
• Тип VII: бесконечное семейство: полупрямые произведения ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, где матрица ${\displaystyle M}$ имеет комплексные собственные значения, не вещественные и не мнимые. Разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют ненулевые вещественные числа.
• Тип VII₀: полупрямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, где матрица ${\displaystyle M}$ имеет ненулевые мнимые собственные значения. Решаемый и унимодульный. Это алгебра Ли группы изометрий плоскости. Односвязная группа имеет центр Z и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
• Тип VIII: алгебра Ли ${\displaystyle sl(2,\mathbb {R} ^{2})}$ 2×2-матриц с нулевым следом, ассоциированная с группой ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} ^{2})}$. Простая и унимодульная. Односвязная группа не является матричной группой; она обозначается ${\displaystyle {\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbf {R} )}$, имеет центр Z и группу внешних автоморфизмов порядка 2.
• Тип IX: алгебра Ли ортогональной группы ${\displaystyle O(3,\mathbb {R} )}$. Она обозначается 𝖘𝖔(3) и является простой и унимодулярной. Соответствующая односвязная группа — SU(2); она имеет центр порядка 2 и тривиальную группу внешних автоморфизмов и является спиновой группой .

Классификация трёхмерных комплексных алгебр Ли аналогична, за исключением того, что типы VIII и IX становятся изоморфными, а типы VI и VII становятся частью единого семейства алгебр Ли.

Связные 3-мерные группы Ли можно классифицировать следующим образом: они являются фактором соответствующей односвязной группы Ли по дискретной подгруппе центра, поэтому их можно прочитать из данного списка.

Группы связаны с 8 типами геометрий в гипотезе геометризации Терстона. Точнее, семь из 8 геометрий могут быть реализованы как левоинвариантные метрики на односвязной группе (иногда более чем одним способом). Геометрия типа ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {R} }$ не может быть реализована таким образом.

• Р. Борчердс  (англ.), Lie groups: Bianchi classification на YouTube