Группа Гейзенберга
Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида
где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:
- кольцо вещественных чисел — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается , или
- кольцо целых чисел — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается , или
- кольцо вычетов с простым числом p — группа обозначается .
Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.
Вариации и обобщения
Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга состоит из квадратных матриц порядка n+2:
элементы принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.
Непрерывная группа Гейзенберга представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида
Примечания
- Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978.
- Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
- A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.