Идеальный треугольник

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники равны между собой.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник является наибольшим возможным треугольником в геометрии Лобачевского.

В стандартной плоскости Лобачевского (поверхности, где кривизна Гаусса постоянна и равна −1) идеальный треугольник также обладает следующими свойствами:

• Площадь такого треугольника равна π.[1]

Dimensions related to an ideal triangle and its incircle, depicted in the Beltrami–Klein model (left) and the Poincaré disk model (right)

• Радиус вписанной окружности равен ${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3\approx 0.549}$.[2]

Расстояние от любой точки треугольника до его ближайшей стороны меньше или равно вышеуказанному радиусу, причём точно это равенство выполняется только в центре вписанной окружности.

• Вписанная окружность касается треугольника в трёх точках, образуя равносторонний треугольник со стороной ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$[2], где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ есть золотое сечение.

Окружность с радиусом d вокруг точки внутри треугольника соприкоснётся как минимум с двумя сторонами треугольника или пересечёт их.

• Расстояние от любой точки стороны такого треугольника до другой стороны меньше или равно ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$, причём точно равенство выполняется только для вышеописанных точек соприкосновения.

a также является высотой треугольника Швейкарта.

Если кривизна пространства равна -K, отличному от −1, площади выше следует умножить на ${\displaystyle 1/K}$, а длины и расстояния — на ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$.

Положение δ-тонкого треугольника на δ-гиперболическом пространстве

Поскольку идеальный треугольник является наибольшим возможным в геометрии Лобачевского, вышеуказанные значения являются наибольшими возможными для треугольников в геометрии Лобачевского. Этот факт является важным для изучения пространства Лобачевского.

В модели Пуанкаре в круге плоскости Лобачевского, идеальный треугольник образован тремя окружностиями, пересекающими граничную окружность под прямым углом.

В модели Пуанкаре в полуплоскости идеальный треугольник выглядит как арбелос — фигура между тремя соприкасающимися полуокружностями.

В проективной модели идеальный треугольник — евклидов треугольник, вписанный в граничную окружность. При этом на проективной модели углы при вершинах идеального треугольника не равны нулю, поскольку эта модель, в отличие от моделей Пуанкаре, не сохраняет углы.

Модель Пуанкаре, замощённая идеальными треугольниками

Идеальная (∞ ∞ ∞) группа треугольника

Другое идеальное замощение

Вещественная группа идеального треугольника — группа преобразований, порождённая отражениями плоскости Лобачевского относительно сторон идеального треугольника. Как абстрактная группа она изоморфна свободному произведению трёх групп из двух элементов. В результате отражений получается замощение плоскости Лобачевского идеальными треугольниками.

• Schwartz, Richard Evan. Ideal triangle groups, dented tori, and numerical analysis (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 2001. — Vol. 153, no. 3. — P. 533—598. — doi:10.2307/2661362. — arXiv:math.DG/0105264. — .