Арбелос

Теорема Паппа: ${\displaystyle h_{1}=d_{1}}$, ${\displaystyle h_{2}=2d_{2}}$,…, ${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$.

Даны арбелос ABC (точка A лежит между точками B и C) и окружности ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$,…,${\displaystyle \omega _{n}}$ (${\displaystyle n\in N}$), причем окружность ${\displaystyle \omega _{1}}$ касается дуг AB, BC и AC, а при ${\displaystyle n\geq 2}$ окружность ${\displaystyle \omega _{n}}$ касается дуг AB и BC и окружности ${\displaystyle \omega _{n-1}}$.

Тогда при любом натуральном ${\displaystyle n}$ расстояние от центра окружности ${\displaystyle \omega _{n}}$ до прямой BC равно произведению диаметра этой окружности на её номер ${\displaystyle n}$[2][3]:

${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$.

Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром HA.

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\pi |HA|^{2}}$,

где H — точка на окружности с диаметром BC, такая, что AH перпендикулярно BC.

Отрезок BH пересекает полуокружность BA в точке D. Отрезок CH пересекает полуокружность AC в точке E. Тогда DHEA является прямоугольником.

Прямая DE касается полуокружности BA в точке D и полуокружности AC в точке E.