Ориентация

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексный базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$ определяет вещественный базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}}$ в том же пространстве, рассматриваемом как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$).

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве ${\displaystyle A}$ системы координат состоят из точки (начала ${\displaystyle O}$) и репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра ${\displaystyle t\in [0,1]}$ семейство координатных систем ${\displaystyle O(t)}$, ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$, связывающее данные системы ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ и ${\displaystyle O'}$, ${\displaystyle \{e'_{i}\}}$.

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин ${\displaystyle n}$-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая ${\displaystyle (n-1)}$-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

В связном многообразии ${\displaystyle M}$ системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих ${\displaystyle M}$. Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны ${\displaystyle +1}$, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие ${\displaystyle M}$ называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если ${\displaystyle M}$ имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий ${\displaystyle M}$, первый вектор которого направлен из ${\displaystyle M}$, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.

Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.

Вдоль любого пути ${\displaystyle q:[0,1]\to M}$ можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым ориентация в точке ${\displaystyle q(0)}$ определяет ориентацию в точке ${\displaystyle q(1)}$, и эта связь зависит от пути ${\displaystyle q}$ лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если ${\displaystyle q}$ — петля, то есть ${\displaystyle q(0)=q(1)=x_{0}}$, то ${\displaystyle q}$ называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы ${\displaystyle \pi _{1}(M,x_{0})}$ в группу порядка ${\displaystyle 2}$: дезориентирующие петли переходят в ${\displaystyle -1}$, а остальные в ${\displaystyle +1}$. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над ${\displaystyle M}$ одномерное расслоение, тривиальное, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ ориентируемо. Для дифференцируемого ${\displaystyle M}$ оно может быть определено как расслоение ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$ дифференциальных форм порядка ${\displaystyle n=\operatorname {dim} M}$. Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на ${\displaystyle M}$ и одновременно ориентацию.

Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий ${\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {Z} )}$ (с замкнутыми носителями) изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для ${\displaystyle H^{n}(M,\partial M,\mathbb {Z} )}$. В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары ${\displaystyle (M,\partial M)}$. Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.

Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе ${\displaystyle H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb {Z} )}$, изоморфной ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.

Триангулированное многообразие ${\displaystyle M}$ (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все ${\displaystyle n}$-мерные симплексы так, что два симплекса с общей ${\displaystyle (n-1)}$-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка ${\displaystyle n}$-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую ${\displaystyle (n-1)}$-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Пусть над пространством ${\displaystyle B}$ задано расслоение ${\displaystyle p:E\to B}$ со стандартным слоем ${\displaystyle F}$. Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в ${\displaystyle B}$ однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.