Фундаментальный класс

Если многообразие ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ является связным ориентируемым и замкнутым, то ${\displaystyle n}$-ая группа гомологий является бесконечной циклической: ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$. При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма ${\displaystyle \mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )}$. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Если ориентируемое многообразие ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i}}$ является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму ${\displaystyle \sum \limits _{i}[M_{i}]}$ фундаментальных классов всех его связных компонент ${\displaystyle M_{i}}$. Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы ${\displaystyle H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z} }$.

Для неориентируемого многообразия группа ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0}$, если при этом ${\displaystyle M}$ является связным и замкнутым, то ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$. Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})}$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия ${\displaystyle M}$.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Если ${\displaystyle M}$ является компактным ориентируемым многообразием с краем ${\displaystyle \partial M}$, то ${\displaystyle n}$-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z} }$. Порождающий элемент группы ${\displaystyle H_{n}(M,\partial M)}$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.