Совершенное множество

Всякое несчётное замкнутое множество ${\displaystyle M}$ есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации ${\displaystyle N\subset M}$ в силу замкнутости ${\displaystyle M}$.

Для того, чтобы точка ${\displaystyle a}$ была точкой конденсации множества ${\displaystyle M}$, необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки ${\displaystyle a}$ содержала несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$.

Рациональной окрестностью точки ${\displaystyle a}$ называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

Пусть ${\displaystyle a}$ — точка конденсации и ${\displaystyle (r',r'')}$ — произвольная рациональная окрестность точки ${\displaystyle a}$. Выберем ${\displaystyle \delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)}$. Тогда окрестность ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$ точки ${\displaystyle a}$ попадёт целиком в ${\displaystyle (r',r'')}$. Так как ${\displaystyle a}$ — точка конденсации, то ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$, а тем самым и ${\displaystyle (r',r'')}$, будут содержать несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$.

Пусть любая рациональная окрестность точки ${\displaystyle a}$ содержит несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$. Рассмотрим произвольную окрестность ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$ точки ${\displaystyle a}$ и пусть ${\displaystyle r'}$ и ${\displaystyle r''}$ — два рациональных числа, расположенные соответственно между ${\displaystyle a-\delta }$ и ${\displaystyle a}$ и между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a+\delta }$. Тогда в окрестность ${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$ попадёт целиком рациональная окрестность ${\displaystyle (r',r'')}$ а вместе с ней и несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$. Но это значит, что ${\displaystyle a}$ есть точка конденсации.

Всякое несчётное множество ${\displaystyle M}$ содержит несчётное множество своих точек конденсации.

Пусть ${\displaystyle R}$ — множество точек из ${\displaystyle M}$, не являющимися точками конденсации множества ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle R=\varnothing }$, то доказывать нечего. Пусть ${\displaystyle R\neq \varnothing }$ и ${\displaystyle x\in R}$ . Так как ${\displaystyle x}$ не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность ${\displaystyle (r'_{x},r''_{x})}$ точки ${\displaystyle x}$, содержащая не более счётного множества точек из ${\displaystyle M}$, в том числе точек из ${\displaystyle R}$. Таким образом, все множество ${\displaystyle R}$ может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из ${\displaystyle R}$. Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что ${\displaystyle R}$ также не более чем счётно. Тогда ${\displaystyle M\backslash R}$ — множество точек конденсации множества ${\displaystyle M}$ несчетно.

Множество ${\displaystyle N}$ точек конденсации несчётного множества ${\displaystyle M}$ совершенно.

Покажем сначала, что ${\displaystyle N}$ замкнуто. Пусть ${\displaystyle x\in N'}$ и ${\displaystyle (r'_{x},r''_{x})}$ — произвольный рациональный интервал, содержащий точку ${\displaystyle x}$. Для достаточно малого ${\displaystyle \delta }$ интервал ${\displaystyle (x-\delta ,x+\delta )}$ попадёт целиком внутрь ${\displaystyle (r'_{x},r''_{x})}$. Так как ${\displaystyle x}$ — предельная точка для множества точек конденсации, то ${\displaystyle (x-\delta ,x+\delta )}$ содержит хотя бы одну точку конденсации ${\displaystyle x_{0}}$, а вместе с ней и некоторую окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$. Но тогда эта окрестность, а следовательно, и ${\displaystyle (r'_{x},r''_{x})}$, содержит несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$, и поскольку ${\displaystyle (r'_{x},r''_{x})}$ — произвольная рациональная окрестность точки ${\displaystyle x}$, то ${\displaystyle x}$ есть точка конденсации, то есть ${\displaystyle x\in N}$. Покажем, что ${\displaystyle N}$ не содержит изолированных точек. Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ — произвольная точка из ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )}$ — произвольная окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$. Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из ${\displaystyle M}$ . Рассмотрим несчётное множество ${\displaystyle M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )}$. По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для ${\displaystyle M_{1}}$ есть в то же время точка конденсации для ${\displaystyle M}$. Следовательно, внутрь ${\displaystyle (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )}$ попадает несчётное множество точек из ${\displaystyle N}$, и, таким образом, ${\displaystyle x_{0}}$ не является изолированной точкой этого множества.