Точка конденсации

Точка конденсации — усиленный вариант предельной точки и специальный вариант точки накопления в общей топологии: для заданного множества ${\displaystyle A}$ в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ точка ${\displaystyle x\in X}$ называется точкой конденсации, если во всякой окрестности ${\displaystyle x}$ содержится несчётное множество точек множества ${\displaystyle A}$.

Множество точек конденсации множества ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle A^{\circ }}$ — замкнуто, более того, если оно непусто, то является совершенным множеством и имеет мощность континуума. Множество точек конденсации замыкания множества совпадает с множеством точек конденсации самого множества: ${\displaystyle {\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }}$. Объединение множеств точек конденсации двух множеств совпадает со множеством точек конденсации объединения исходных множеств: ${\displaystyle (A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }}$. Для множества ${\displaystyle A}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ со второй аксиомой счётности ${\displaystyle A\setminus A^{\circ }}$ счётно и ${\displaystyle (A^{\circ })^{\circ }=A}$. Из последних двух свойств непосредственно следует теорема Кантора — Бендиксона в общетопологическом варианте (изначально доказанная для подмножеств числовой прямой).

У подмножества числовой все предельные точки являются точками конденсации; каждая точка канторова дисконтинуума является его точкой конденсации. У счётного множества точек конденсации быть не может (при этом предельные точки могут существовать, например, предельными для счётного множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ являются все точки числовой прямой).

Для подпространств евклидовых пространств точки конденсации определил и изучил в 1903 году Эрнст Линделёф, в 1914 году Феликс Хаусдорф распространил понятие на общие топологические пространства.