Секционная кривизна

Секционная кривизна — это функция ${\displaystyle K(\sigma )}$, которая зависит от секционного направления ${\displaystyle \sigma }$ в точке ${\displaystyle p}$ (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в ${\displaystyle p}$). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке ${\displaystyle p}$.

• Если ${\displaystyle v,\;u}$ — два линейно независимых вектора в ${\displaystyle \sigma }$, то

  ${\displaystyle K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},}$ где ${\displaystyle K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,}$

а ${\displaystyle R(u,\;v)}$ обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом

    ${\displaystyle K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}.}$

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:

  ${\displaystyle 6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =}$

  ${\displaystyle [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}$

  ${\displaystyle [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}$

  • более простой форме, используя частные производные:

    ${\displaystyle \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.}$

• Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в Римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.