Однородная система координат

Проективная плоскость обычно определяется как множество прямых в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, проходящих через начало координат. Любая такая прямая однозначно определяется точкой, не совпадающей с началом координат ${\displaystyle 0}$. Пусть данная прямая проходит через точку с координатами ${\displaystyle (a,b,c)}$, тогда однородные координаты соответствующей точки на проективной плоскости — это тройка чисел ${\displaystyle (x_{1}:x_{2}:x_{3})}$, определённая с точностью до пропорциональности и такая, что все три координаты одновременно не могут быть равны нулю[1]. Например, ${\displaystyle (0:1:1)=(0:2:2).}$

От однородных координат к аффинным можно перейти следующим образом: в трёхмерном пространстве можно провести плоскость, не проходящую через начало координат; тогда проходящая через начало координат прямая либо параллельна этой плоскости (в этом случае точка называется «бесконечно удалённой»), либо пересекает её в единственной точке, тогда ей можно сопоставить координаты этой точки на плоскости. Например, в пространстве с координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ проведём плоскость ${\displaystyle x_{3}=1}$. Тогда точке с однородными координатами ${\displaystyle (a:b:c)}$, если ${\displaystyle c\neq 0}$, соответствует точка на плоскости с координатами ${\displaystyle (a/c,b/c).}$ Обратно, точка с аффинными координатами ${\displaystyle (a,b)}$ в однородных координатах запишется как ${\displaystyle (a:b:1).}$

Прямые на проективной плоскости — это плоскости в трёхмерном пространстве, проходящие через начало координат. Такую плоскость можно задать уравнением ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0}$. Нетрудно заметить, что при умножении ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ на одно и то же число плоскость, задаваемая уравнением, не изменится. Это значит, что каждой плоскости соответствуют однородные координаты ${\displaystyle (a_{1}:a_{2}:a_{3})}$. Точке, записанной в однородных координатах, можно сопоставить прямую, которая в однородных координатах записывается так же. Таким образом, прямые на проективной плоскости образуют «вторую проективную плоскость», в этом и заключается принцип проективной двойственности.

В вычислительной геометрии однородные координаты применяются в вычислениях операций на евклидовой плоскости. Плоскость Евклида временно дополняется до проективной, к декартовым координатам точек добавляется однородная координата 1, затем производятся операции, затем в самом конце производится деление на однородную координату, чтобы получить декартовы координаты, а бесконечно удалённые точки обрабатываются особо. Такой подход даёт возможность быстро и безошибочно закодировать операции с объектами на плоскости. Прямая, проходящая через две точки, и точка на пересечении двух прямых, — обе операции кодируются, используя векторное произведение. Также нередко расширение евклидовой плоскости до проективной позволяет избежать рассмотрения частных случаев в промежуточных построениях, например, пересекающиеся или параллельные прямые, и провести анализ только в самом конце.

Однородные целочисленные координаты обобщают рациональные числа. Третья однородная координата служит общим знаменателем первым двум координатам, таким образом все вычисления могут производятся без погрешностей (в длинной арифметике).

• Барицентрические координаты.