Проективная геометрия

Проективное пространство можно определить с помощью разного набора аксиом. Коксетер предоставляет следующие:

1. Существует прямая и точка не на ней.
2. На каждой прямой есть по крайней мере три точки.
3. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
4. Если ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle D}$ — различные точки и ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$ пересекаются, то ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ пересекаются.
5. Если ${\displaystyle ABC}$ — плоскость, то существует по крайней мере одна точка не в плоскости ${\displaystyle ABC}$.
6. Две различные плоскости пересекаются по крайней мере в двух точках.
7. Три диагональные точки полного четырёхугольника не коллинеарны.
8. Если три точки на прямой ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к проективности ${\displaystyle \varphi }$, то все точки на ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к ${\displaystyle \varphi }$.

Проективная плоскость (без третьего измерения) определяется несколько другими аксиомами:

1. Через две точки можно провести ровно одну прямую.
2. Любые две прямые пересекаются.
3. Существует четыре точки, из которых нет трёх коллинеарных.
4. Три диагональные точки полных четырёхугольников не коллинеарны.
5. Если три точки на прямой ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к проективности ${\displaystyle \varphi }$, то все точки на ${\displaystyle X}$ инвариантны по отношению к ${\displaystyle \varphi }$.
6. Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны сквозь точку, то они перспективны сквозь прямую.

При наличии третьего измерения, теорема Дезарга может быть доказана без введения идеальных точки и прямой.

Исторически, проективное пространство было впервые определено, как дополнение евклидова пространства идеальным элементом — бесконечно удалённой плоскостью. Каждая точка на этой плоскости соответствует направлению в пространстве и является местом пересечения всех прямых этого направления.

${\displaystyle n}$-мерное проективное пространство над полем ${\displaystyle F}$ определяется с помощью системы однородных координат над ${\displaystyle F}$, то есть множества ненулевых ${\displaystyle (n+1)}$-векторов из элементов ${\displaystyle F}$. Точка и прямая определяются как множество векторов, отличающихся умножением на константу. Точка ${\displaystyle x}$ находится на прямой ${\displaystyle X}$, если скалярное произведение ${\displaystyle X\cdot x=0}$. Таким образом, имея прямую ${\displaystyle X}$, мы можем определить линейное уравнение ${\displaystyle X\cdot x=0}$, определяющее ряд точек на ${\displaystyle X}$. Из этого следует, что точки ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$ коллинеарны, если ${\displaystyle X\cdot x=X\cdot y=X\cdot z=0}$ для какой-нибудь прямой ${\displaystyle X}$.