Теорема Паппа

Двойственная формулировка к теореме Паппа является лишь переформулировкой самой теоремы:

Пусть прямые ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}}$ проходят через точку A, ${\displaystyle a_{1}',a_{2}',a_{3}'}$ проходят через точку A'. ${\displaystyle a_{1}}$ пересекает ${\displaystyle a_{2}'}$ и ${\displaystyle a_{3}'}$ в точках B и C, ${\displaystyle a_{2}}$ пересекает ${\displaystyle a_{1}'}$ и ${\displaystyle a_{3}'}$ в точках C' и Z, ${\displaystyle a_{3}}$ пересекает ${\displaystyle a_{1}'}$ и ${\displaystyle a_{2}'}$ в точках B' и X. Тогда прямые BC', B’C и XZ пересекаются в одной точке (на чертеже — точка Y) или параллельны.

Пусть точка ${\displaystyle O}$- точка пересечения прямых, на которых лежат точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle C'}$.

Рассмотрим пересечения прямых:

${\displaystyle AB'\cap A'B=X}$

${\displaystyle AC'\cap A'C=Y}$

${\displaystyle CB'\cap C'B=Z}$

Теперь применим проективное отображение, переводящее прямую ${\displaystyle XY}$ на бесконечность. Тогда ${\displaystyle AC'||A'C}$.

Так как ${\displaystyle X=\infty }$: ${\displaystyle AB'||A'B}$. Теперь необходимо доказать, что ${\displaystyle BC'||B'C}$.

Рассмотрим подобные треугольники.

${\displaystyle \bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'}$

${\displaystyle \bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'}$

Отсюда следует, что ${\displaystyle {\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'}$ (по второму признаку подобия треугольников) ${\displaystyle \Rightarrow BC'||B'C}$.

Что и требовалось доказать.

Применяя к треугольникам ${\displaystyle \bigtriangleup AXB}$, ${\displaystyle \bigtriangleup AYC}$ и ${\displaystyle \bigtriangleup BZC}$ теорему Менелая, также можно доказать данное утверждение.