Признаки подобия треугольников

то есть: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Leftrightarrow \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

• Если три разные стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем разным сходственным сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$, в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}\Rightarrow AC=AC_{2}\Rightarrow \triangle ABC=\triangle ABC_{2}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow \angle B=\angle ABC_{2}\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак).

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}}$.

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$, в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}\Rightarrow \ }$ AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ ${\displaystyle \sim }$ ∆A₁B₁C₁ => ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$.

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум катетам — см. второй признак;
3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.