Теорема Ван-Обеля о треугольнике

Теорема Ван-Обеля

Формулировка

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые $AP$ , $BP$ , $CP$ пересекают соответственно прямые $BC$ , $CA$ и $AB$ , содержащие стороны треугольника $ABC$ , соответственно в точках $A_{1}$ , $B_{1}$ и $C_{1}$ , то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

{\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}

.

Замечания

Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы ван Обеля:
${\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}$ .

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.