Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я или теорема о трансверсалях или теорема о полном четырёхстороннике — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Если точки $A',B'$ и $C'$ лежат соответственно на сторонах $BC,CA$ и $AB$ треугольника $\triangle ABC$ или на их продолжениях[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

где ${\frac {AB'}{B'C}}$ , ${\frac {CA'}{A'B}}$ и ${\frac {BC'}{C'A}}$ обозначают отношения направленных отрезков.

Доказательство

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$ , и обозначим через $K$ точку пересечения этой прямой с прямой $A'C'$ . Поскольку треугольники $\triangle AC'B'$ и $\triangle CKB'$ подобны (по двум углам), то

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

.

Так как подобными являются также треугольники $\triangle BC'A'$ и $\triangle CKA'$ , тем самым

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

.

Исключая $CK$ , получаем

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B'A|}}=1

.

Остаётся заметить, что возможны два расположения точек $A',B'$ и $C'$ : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Замечания

В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:
${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.$

Вариации и обобщения

Тригонометрический эквивалент:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, где все углы — ориентированные.

В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

{\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.[2]

Применения

Теорема Сальмона
Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.

См. также

Примечания

на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678

Ссылки

Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — 334 с. Архивная копия от 2 марта 2005 на Wayback Machine
Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд", 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5.
Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0.
Шаль, Мишель. О теореме Птоломея относительно треугольника, пересечённого трансверсалью // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. — М., 1883. — Т. 2.
Sidoli N. The sector theorem attributed to Menelaus // SCIAMVS. — 2006. — № 7. — С. 43–79.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки

[2] G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678